2.3浮点数的表示和运算

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29 分钟

2.3浮点数的表示和运算

2026-04-26

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浮点数表示法通过将比例因子嵌入数据中，使小数点位置可根据需要浮动。这样，在有限位数下，既能扩大数值的表示范围，又能保持较高的有效精度。例如，用定点数表示电子质量( $9\times10^{-28}$ g) 或太阳质量 ( $2\times10^{33}$ g) 极为不便，而浮点数则能高效处理此类极大或极小的数值。

通常，浮点数表示为

N = (-1)^S \times M \times R^E

其中， $S$ (取值0或1)决定浮点数的符号； $M$ 是一个非负的定点小数，称为尾数，通常用原码表示； $E$ 是一个定点整数，称为阶码（或指数），通常采用偏置表示（一种移码形式）。 $R$ 是基数(通常隐含约定为2、4或16)。可见，浮点数由符号、尾数和阶码三部分组成。

在IEEE754浮点数标准广泛使用之前，不同计算机所用的浮点数表示格式各不相同。

其中，第0位为符号 $S$ ；第1~~7位为阶码 $E$ ，采用偏置值为64的移码表示；第8~~31位为24位尾数 $M$ ，以二进制原码小数表示；基数 $R$ 为2。在该格式中，阶码的值决定了小数点的实际位置；阶码的位数决定了浮点数的表示范围；尾数的位数则决定了数值的精度。

2.3.1 IEEE 754标准的浮点数#

1. IEEE 754 标准的浮点数格式#

现代系统普遍采用IEEE754浮点数标准。该标准定义了两种常用格式：32位单精度浮点数(float型)和64位双精度浮点数(double型)，其基数隐含为2,如下图。

精度类型	符号位 (bit)	阶码位 (bit)	尾数位 (bit)	总位数
32 位单精度	1	8	23	32
64 位双精度	1	11	52	64

图2.14 IEEE754标准浮点数的格式

32位单精度格式包含1位符号 $s$ 、8位阶码 $e$ 和23位尾数 $f$ ；64位双精度格式包含1位符号 $s$ 、11位阶码 $e$ 和52位尾数 $f$ 。基数隐含为2；尾数用原码表示。对于规格化的二进制浮点数，尾数的最高位恒为1。为提升精度， $IEEE754$ 不显式存储该位，而是将其隐含在小数点之前，称为隐藏位。因此，单精度格式的23位尾数实际提供了24位有效数字，双精度格式的52位尾数实际提供了53位有效数字。例如， $(12)_{10} = (1100)_2$ ，规格化后为 $1.1 \times 2^3$ 。其中，小数点前的“1”不实际存储，尾数 $f$ 仅保存小数部分 $100\cdots0$ ，而阶码保存的是指数3的编码值。

$IEEE754$ 标准的阶码采用移码表示，但偏置值并不是通常 $n$ 位移码所用的 $2^{n-1}$ ，而是 $2^{n-1}-1$ 。因此，单精度和双精度格式的偏置值分别为127和1023。上例中，指数真值为3，因此在单精度格式中，阶码为 $127+3=130$ (82H)；在双精度格式中，阶码为 $1023+3=1026$ (402H)。

TIP
阶码（指数）的存储方式
在 IEEE 754 标准中，阶码以**偏移量（移码）**形式存储，而非补码或原码：

32位单精度：阶码真值 E 需加上 127，然后转换为无符号二进制（8位）。

64位双精度：阶码真值 E 需加上 1023，然后转换为无符号二进制（11位）。

公式：
存储的阶码 = E + 偏移量 （其中偏移量 = 127 或 1023）

IEEE 754标准的规格化单精度浮点数的真值为

(-1)^s \times 1.f \times 2^{e-127}

规格化双精度浮点数的真值为

(-1)^s \times 1.f \times 2^{e-1023} \quad

其中，规格化单精度浮点数的阶码取值范围为 $1\sim254$ (8位，全0和全1保留用于特殊值)；规格化双精度浮点数的阶码 $e$ 的取值范围为 $1\sim2046$ (11位，保留用途相同)。

2. IEEE754格式浮点数的表示范围#

IEEE754规格化浮点数的表示范围见表2.2。

表2.2 IEEE754规格化浮点数的表示范围

格式	最小值	最大值
单精度	$e=1, f=0$ $1.0 \times 2^{1-127} = 2^{-126}$	$e=254, f=.111\ldots$ $1.111\ldots 1 \times 2^{254-127} = 2^{127} \times (2 - 2^{-23})$
双精度	$e=1, f=0$ $1.0 \times 2^{1-1023} = 2^{-1022}$	$e=2046, f=.1111\ldots$ $1.111\ldots 1 \times 2^{2046-1023} = 2^{1023} \times (2 - 2^{-52})$

当浮点运算结果的绝对值超过最大规格化数时，发生上溢（也称溢出），可分为：

正上溢：若结果为正且大于最大规格化正数。
负上溢：若结果为负且小于最小规格化负数（绝对值过大）。

IEEE 754对上溢的处理规则：

将结果设为 $+\infty$ 或 $-\infty$ ；
置位浮点溢出异常标志，IEEE 754规定，默认情况下不触发异常中断，程序继续执行，除非显式开启此类异常响应。

当运算结果的绝对值小于最小规格化正数但不为零时，发生下溢，可分为：

正下溢：若结果为正，且处在0到最小规格化正数之间。
负下溢：若结果为负，且处在最大规格化负数到0之间。

对下溢的处理采用渐进下溢机制：

若结果落在非规格化数可表示范围内，则以非规格化形式存储，保留部分有效精度；
若结果过于接近零（舍入后为零），则存储为+0或-0，并置位浮点下溢异常标志。同样，默认不响应下溢异常，程序继续运行，除非显式启用异常处理。

3. 几种特殊的IEEE754浮点数#

在IEEE754标准中，当阶码全为0或全为1时，浮点数具有特殊含义，如表2.3所示。

表2.3 阶码全为0或全为1时IEEE754浮点数的解释

值的类型	单精度(32位)				双精度(64位)
	符号	阶码	尾数	值	符号	阶码	尾数	值
正零	0	0	0	0	0	0	0	0
负零	1	0	0	-0	1	0	0	-0
正无穷大	0	255(全1)	0	$+\infty$	0	2047(全1)	0	$+\infty$
负无穷大	1	255(全1)	0	$-\infty$	1	2047(全1)	0	$-\infty$
无定义数（非数）	0或1	255(全1)	$f \neq 0$	NaN	0或1	2047(全1)	$f \neq 0$	NaN
非规格化正数	0	0	$f \neq 0$	$2^{-126} \times (0.f)$	0	0	$f \neq 0$	$2^{-1022} \times (0.f)$
非规格化负数	1	0	$f \neq 0$	$-2^{-126} \times (0.f)$	1	0	$f \neq 0$	$-2^{-1022} \times (0.f)$

全0阶码全0尾数：+0/-0。符号 $s$ 决定其正负，通常情况下+0和-0是等效的。
全1阶码全0尾数： $+\infty$ / $-\infty$ 。 $+\infty$ 在数值上大于所有有限数， $-\infty$ 则小于所有有限数。引入无穷大数的目的是，使程序在溢出等异常情况下仍能继续执行。
全1阶码非0尾数：NaN (Not a Number)。表示一个没有定义的数，称为非数。
全0阶码非0尾数：非规格化数。非规格化数的特点是阶码为全0，不使用隐藏位，尾数字段不全为0。因此，单精度和双精度浮点数的指数分别为-126和-1022。非规格化数用于实现渐进下溢，填补0与最小规格化数之间的数值间隙。

【例2.5】 将十进制数-8.25转换为IEEE754单精度浮点数格式表示。

解：

IEEE 754单精度浮点数的偏置值是127；尾数最高位的“1”是被隐藏的。

先将-8.25转换为二进制，即 $-1000.01 = -1.00001 \times 2^3$ ，尾数部分取小数点后的23位(00001后补0至23位)；再计算阶码 $E$ ， $E-127=3$ ，因此 $E=130$ ，转换为二进制为1000 0010。

IEEE754单精度浮点数格式：符号(1位)+阶码(8位)+尾数(23位)，即为

1;1000 0010;0000 1000 0000 0000 0000 000

因此，其单精度浮点数格式表示为1100 0001 0000 0100 0000 0000 0000 0000 = C104 0000H。

【例2.6】 求IEEE754单精度浮点数C640 0000H的值是多少。

解：

先将C640 0000H按二进制展开为1100 0110 0100 0000 0000 0000 0000 0000

按IEEE754单精度浮点数格式划分：

符号阶码尾数
1 1000 1100 1000 0000 0000 0000 0000 000

因此，符号=1表示负数；阶码真值为 $10001100 - 01111111 = (00001101)_2 = 13$ ；尾数真值为 $1 + (0.1)_2 = 1.5$ （注意，尾数含隐藏位1）。因此，该单精度浮点数的值为 $-1.5 \times 2^{13}$ 。

符号	阶码	尾数
1	1000 1100	1000 0000 0000 0000 0000 000

2.3.2 浮点数的加减运算#

浮点数运算的特点是阶码与尾数分开处理，浮点数加减运算分为以下几个步骤。

1. 对阶#

对阶的目的是使两个操作数的小数点位置对齐，即令它们的阶码相等，以便尾数可以直接相加减。对阶的原则是：小阶向大阶看齐，即将阶码较小的数的尾数右移，右移位数等于两阶码差的绝对值。对于IEEE754标准的浮点数，对阶时需要进行移码减法运算，以求得阶码差。尾数右移时，仅移动数值位，符号位不参与移位；对于规格化数，隐藏位1会随尾数右移而进入小数部分，空出的高位补0。为保证运算精度，移出的低位不应丢弃，而应保留并参与后续尾数运算。

NOTE
若采用大阶向小阶看齐，则需将尾数左移，导致最高有效位被移出，造成不可逆的精度错误。

2. 尾数加减#

由于IEEE754标准采用定点原码小数表示尾数，因此尾数加减运算实质上是定点原码小数的加减运算，应根据相应的规则执行。对于规格化数，在运算前还需要将隐藏位还原到尾数部分，形成完整的 $1.f$ 形式。此外，对阶过程中为保持精度而保留的附加位也要参与尾数加减运算。

3. 尾数规格化#

为在浮点运算中最大限度保留有效数字，需要对运算结果进行规格化处理。所谓规格化，是指通过调整尾数与阶码，使浮点数的尾数满足最高有效位为1的形式。

IEEE754规格化尾数的形式为 $1.\times\ldots\times$ 。尾数相加减后可能出现两类非规格化结果：

1.\times\ldots\times + 1.\times\ldots\times = 1\times.\times\ldots\times

1.\times\ldots\times - 1.\times\ldots\times = 0.0\ldots01\times\ldots\times

右规：当结果为 $1\times.\times\ldots\times$ 时，需要进行右规。尾数每右移一位，阶码加1。尾数右移时，最高位1被移到小数点前一位作为隐藏位，最后一位移出时，要考虑舍入。
左规：当结果为 $0.0\ldots01\times\ldots\times$ 时，需要进行左规。尾数每左移一位，阶码减1。可能需要左规多次，直到将第一位1移至小数点左边。

NOTE

左规一次相当于乘以2，右规一次相当于除以2；

需要右规时，只需进行一次。

4. 舍入#

在对阶和右规过程中，尾数右移可能导致低位丢失。为保证精度，移出的低位通常被保留用于中间计算。最终结果需通过舍入处理，还原为标准的IEEE754格式。

为此，IEEE754引入三个辅助位以指导精确舍入。

保护位：紧邻尾数最低有效位之后的第一位，用于初步判断舍入方向。
舍入位：位于保护位之后，与保护位和粘滞位共同构成完整的舍入信息。
粘滞位：只要舍入位之后被移出的位中存在至少一个1，粘滞位就置为1，否则为0。

IEEE 754定义了四种可选的舍入模式。

就近舍入（默认方式）：选择最接近真实值的可表示数。若真实值恰好位于两个可表示数的正中间，则选择尾数最低有效位为0的那个（偶数）。具体规则：
1. 若保护位=0，直接舍去；
2. 若保护位=1且（舍入位=1或粘滞位=1），则尾数加1；
3. 若保护位=1、舍入位=0、粘滞位=0，则在尾数末位为奇数时向其加1，以符合向偶数舍入的要求。例如，运算后得到浮点数的临时尾数 $M_1$ ，舍入过程如下：
  $M_1 = 1.10110011100110011010101\ 0\ 1\ 0\ 1$
  注意，下划线部分为保留的23位尾数，其后依次为保护位、舍入位、粘滞位。
  
  由于保护位=1、舍入位=0、粘滞位=1，结果属于非中间值，需要向尾数加1。加1后的23位尾数为10110011110011001101011。
  
  若运算后得到临时尾数 $M_2$ ，则舍入过程如下：
  $M_2 = 1.10110011100110011010101\ 0\ 0\ 0$
  由于保护位=1、舍入位=0、粘滞位=0，结果恰好位于两个可表示数的正中间。此时尾数最低有效位为偶数，无须加1。最终的23位尾数保持为1011 0011 1100 1100 1101 010。
正向舍入：朝数轴 $+\infty$ 方向舍入，即选择数值更大的可表示数。
负向舍入：朝数轴 $-\infty$ 方向舍入，即选择数值更小的可表示数。
截断法：直接截取所需位数，丢弃后面的所有位，实现最为简单。对正数或负数来说，都是选择更接近原点的那个可表示数，也称为朝原点舍入。

5. 溢出判断#

在尾数规格化或舍入过程中，可能对阶码进行加减操作，因此需要判断指数是否溢出。在IEEE754中，浮点数的溢出由阶码是否超出可表示范围决定；尾数溢出可通过右规修正，而真正的溢出仅发生在阶码上溢或下溢时。

上溢判断。尾数相加后若结果 $\ge 2$ ，或舍入时尾数末位加1引发进位（如 $1.111\cdots+1=10.000\cdots$ ），则均需右规：尾数右移一位，阶码加1。若原阶码已为最大正规格化值（单精度阶码字段为11111110，对应真值+127），加1后变为11111111（该编码保留用于表示无穷大或NaN），则视为指数上溢，通常会引发异常。
下溢判断。左规时尾数左移，阶码减1。若阶码真值减至低于最小正规格化值（单精度-126，双精度-1022），则进入非规格化数范围（阶码字段为0）。若结果进一步小于最小可表示非规格化数（如 $2^{-149}$ 或 $2^{-1074}$ ），则视为指数下溢，通常将结果置为机器零。

【例2.7】 设 $x$ 和 $y$ 为float型变量， $x=10.5$ ， $y=-120.625$ ，请给出 $x+y$ 的计算过程。

解：

$x=10.5=(1010.1)_2=(1.0101)_2 \times 2^3$ 。其IEEE754单精度：符号位为0；阶码为 $3+127=130$ ，即10000010；机器数（注意隐含尾数最高位）为 $0;1000 \space 0010;010 \space 0000 \space 0000 \space 0000 \space 0000 \space 0000$ 。

$y=-120.625=-(1111000.101)_2=-(1.111000101)_2 \times 2^6$ 。其IEEE754单精度：符号位为1，阶码为 $6+127=133$ ，即10000101；机器数为 $1;1000 \space 0101;111 \space 0001 \space 0100 \space 0000 \space 0000 \space 0000$ 。

对阶。求阶差 $E_x - E_y = -3$ 。故将 $x$ 的尾数右移3位，阶码调整为 $E_y=133$ 。对阶后， $x$ 的尾数变为 $0.0010 \space 1010 \space 0000 \space 0000 \space 0000 \space 000 \space 0 \space 0 \space 0$ （含保留的附加位），此时无隐藏位。

尾数相加。 $0.0010 \space 1010 \space 0000 \space 0000 \space 0000 \space 000 \space 0 \space 0 \space 0 + (-1.1110 \space 0010 \space 1000 \space 0000 \space 0000 \space 000) = -1.1011 \space 1000 \space 1000 \space 0000 \space 0000 \space 000 \space 0 \space 0 \space 0$ （注意，附加位参与运算，但不会存储）。

规格化。尾数相加结果 $-1.1011100010\cdots \times 2^6$ ，已是规格化形式。

舍入。单精度尾数保留23位，附加位全为0，按就近舍入规则，直接截断。因此， $x+y$ 的机器数为 $1;1000 \space 0101;1011 \space 1000 \space 1000 \space 0000 \space 0000 \space 000$ 。其真值为 $-(1.101110001)_2 \times 2^6 = -(1101110.001)_2 = -110.125$ 。

2.3.3 C语言中的浮点数类型#

C语言中的 float 型和 double 型分别对应 IEEE 754 单精度和双精度浮点数。long double 型通常对应扩展双精度格式，其长度和格式依赖于编译器与目标平台。在C语言中，表达式中的赋值、运算或比较操作会触发自动类型转换，常见的转换序列为 $\operatorname{char} \to \operatorname{int} \to \operatorname{long} \to \operatorname{double}$ 和 $\operatorname{float} \to \operatorname{double}$ [OCR存疑]，这些转换通常由范围和精度较低的类型向更高者进行，一般不会丢失信息。

当不同类型的数据混合运算时，遵循类型提升原则：较低类型自动转换为较高类型。例如，long 与 int 运算时，先将 int 转换为 long，然后进行运算，结果为 long；float 与 double 运算时，先将 float 转换为 double，结果为 double。这类由编译器自动完成的转换称为隐式类型转换。

int 转 float 时，虽然不会发生溢出，但由于 float 尾数（含隐藏位）仅24位有效，而 int 为32位，当整数值的二进制有效位超过24位时，需做舍入处理，导致精度损失。
int 或 float 转 double 时，因 double 的有效位更多，通常能精确表示原值。
double 转 float 时，一方面 float 的表示范围较小，大数值转换时可能发生溢出；另一方面 float 的尾数有效位变少，高精度数转换时会发生舍入误差。
float 或 double 转 int 时，由于 int 没有小数部分，小数部分被直接丢弃（向零截断）；同时，若浮点数值超出 int 的表示范围，则会发生整数溢出。

不同数据类型之间的转换常隐藏不易察觉的精度损失或溢出风险，编程时需格外谨慎。

2.3.4 数的宽度和存储 `[注：此标题与2.3.4小节标题文字有出入，依据原文保留]`#

1. 数据的宽度和单位#

在计算机中，比特(bit，也称位，符号为b)是最小的信息单位，表示一个二进制位(0或1)；字节(byte，符号为B)是基本的存储和寻址单位，1字节=8比特。随着信息规模增大，常在B(字节)或b(位)前添加前缀如KB、MB、GB等。在传统计算机系统中，这些前缀通常按2的幂定义，如 $1KB=2^{10}B=1024B$ 。

此外，字(word)也是常用的数据组织单位。它是由体系结构定义的逻辑单位，通常用于表示整数、地址等基本数据类型的宽度，其长度因架构而异，常见的有2、4或8字节。

与字不同，字长（也称机器字长）指CPU内部整数运算的数据通路的宽度，通常等于通用寄存器的宽度。字长反映计算机一次能处理的整数数据的位数，是衡量机器性能的重要指标。日常所说的“32位机”或“64位机”，其中的32或64即指字长。例如，在Intel x86架构中，自80386起字长为32位(32位机)，但其体系结构仍将16位定义为一个字，32位称为双字。这表明：字是架构层面的约定，而字长体现的是硬件的实际处理能力。

2. 数据的“大端方式”和“小端方式”存储#

在存储数据时，数据从低位到高位可以按从左到右排列，也可以按从右到左排列。因此，不宜用最左或最右来表征数据的最高位或最低位，通常使用最低有效字节(LSB)和最高有效字节(MSB)来分别表示数据的最低位和最高位。例如，在32位计算机中，一个 int 型变量 i 的机器数为01234567H，其最高有效字节MSB=01H，最低有效字节LSB=67H。

现代计算机普遍采用字节编址，即每个地址对应1字节。不同类型的数据占用不同字节数（如 int 和 float 占4字节，double 占8字节)，而程序中每个变量仅分配一个起始地址。假设变量 i 的地址为0800H，那么其4个字节01H、23H、45H、67H将占据连续的4个内存单元。这些字节在内存中的排列方式分为两种：

大端方式
地址	0800H	0801H	0802H	0803H
数据	01H	23H	45H	67H

小端方式
地址	0800H	0801H	0802H	0803H
数据	67H	45H	23H	01H

大端方式(big endian)：MSB存储在低地址，LSB存储在高地址，字节顺序与数值的标准十六进制书写顺序一致。
小端方式(little endian)：LSB存储在低地址，MSB存储在高地址，字节顺序与标准书写顺序相反。

在分析机器代码时，需特别注意字节顺序。例如，以下是由反汇编器生成的一行代码：

4004d3: 01 05 64 94 04 08 add eax, 0x08049464

其中，4004d3是指令地址，01 05 64 94 04 08 是指令的机器码，add eax, 0x08049464 是其汇编形式。指令的第二个操作数是立即数 0x08049464，其在内存中按地址递增顺序存储为：64H、94H、04H、08H。由于低地址存放的是LSB(64H)，高地址存放的是MSB(08H)，符合小端方式的特征。将这4个字节按小端规则重组，即可得到正确的立即数 0x08049464。因此，在阅读小端机器代码时，需要将连续字节按逆序组合才能还原其逻辑数值。

3. 数据按“边界对齐”方式存储#

在字长为32位的系统中，边界对齐要求数据的存储地址是其对齐值（通常等于该类型大小，单位：字节）的整数倍：字节可位于任意地址，半字地址须为2的倍数，字地址须为4的倍数。满足此条件时，CPU可通过一次访存读取完整数据；否则，若数据跨越两个存储单元，则需两次访存并拼接字节，显著降低效率。为满足对齐要求，编译器会在必要时填充空白字节。这种“以空间换时间”的策略虽略微增加内存占用，但能大幅提升访问速度。

C语言中，struct 型的内存布局遵循以下对齐规则：

每个成员的起始地址必须是其对齐值的整数倍（例如：char 为1，short 为2，int 为4）；
整个结构体的大小必须是其最大成员对齐值的整数倍（不足则在尾部填充）。这确保了每个结构体成员的起始地址均满足对齐要求。

先看两个例子（基于32位x86环境，GCC编译器）：

1
struct A {        struct B {
2
    int a;            char b;
3
    char b;           int a;
4
    short c;          short c;
5
}                 }

结果却是：sizeof(A)=8，sizeof(B)=12。

设B从地址0x0000开始，成员b的对齐值是1，其存放地址符合 $0x0000\%1=0$ ；成员a的对齐值是4，需对齐到4字节边界，故起始于0x0004，占据 $0x0004\sim 0x0007$ ；成员c的对齐值是2，起始于 $0x0008$ ，占据 $0x0008\sim 0x0009$ 。此外，结构体长度必须是最大对齐值(4)的整数倍，当前大小10字节，需填充至12字节 ( $0x000A\sim 0x000B$ )。

设A也从地址0x0000开始，成员a的对齐值是4，存放在 $0x0000\sim 0x0003$ ；成员b的对齐值是1，存放在0x0004；成员c的对齐值是2，为满足“起始地址 $\%$ 对齐值 $=0$ ”的条件，只能存放在 $0x0006\sim 0x0007$ ，总大小为8字节，无须尾部填充。

精简指令集计算机(RISC)普遍采用边界对齐，以支持高效的指令流水线。

2.3浮点数的表示和运算

https://www.atsuko.top/posts/408/principles-of-computer-organization/23-representation-and-operations-of-floating-point-numbers/

作者

AC_DB

发布于

2026-04-26

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

1.8结构体

1.1初识

2.3.1 IEEE 754标准的浮点数#

1. IEEE 754 标准的浮点数格式#

2. IEEE754格式浮点数的表示范围#

3. 几种特殊的IEEE754浮点数#

2.3.2 浮点数的加减运算#

1. 对阶#

2. 尾数加减#

3. 尾数规格化#

4. 舍入#

5. 溢出判断#

2.3.3 C语言中的浮点数类型#

2.3.4 数的宽度和存储 [注：此标题与2.3.4小节标题文字有出入，依据原文保留]#

1. 数据的宽度和单位#

2. 数据的“大端方式”和“小端方式”存储#

3. 数据按“边界对齐”方式存储#

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2.3.4 数的宽度和存储 `[注：此标题与2.3.4小节标题文字有出入，依据原文保留]`#