(1) 二进制数转换为八进制数和十六进制数#

对于一个既有整数部分又有小数部分的二进制数，转换时以小数点为界分别处理：整数部分 ，从小数点向左，每3位（八进制）或每4位（十六进制）分为一组，若最左侧不足3位或4位，则在高位补0；小数部分 ，从小数点向右，同样每3位或4位分为一组，若最右侧不足，则在低位补0。分组完成后，将每组直接替换为对应的八进制或十六进制数码即可。

反之，将八进制数或十六进制数转换为二进制数时，只需将每位数码分别替换为对应的3位或4位二进制数（必要时去掉整数最高位或小数最低位的0）。八进制数与十六进制数之间的转换，通常先转换为二进制数，再转为目标进制，这是最直接且不易出错的方式。

(2) 任意进制数转换为十进制数#

采用按权展开相加法，将各位数码和对应的位权（基数的幂次）相乘，再求和。

例如，$(11011.1)_2=1\times2^4+1\times2^3+0\times2^2+1\times2^1+1\times2^0+1\times2^{-1}=27.5$。

(3) 十进制数转换为任意进制数#

通常采用基数乘除法，对整数部分和小数部分分别处理：

1. 整数部分使用除基取余法：不断除以目标进制的基数，记录余数，直至商为0；最先得到的余数为最低位，最后得到的为最高位。

2. 小数部分使用乘基取整法：不断乘以基数，记录整数部分，直至小数部分为0或达到所需精度。最先得到的整数为最高位，最后得到的为最低位。

最终将两部分的转换结果拼接，即得到目标进制数。

NOTE

关于除基取余法和乘基取整法的原理，建议结合 $r$ 进制数的数值定义公式理解，避免死记硬背。并非所有十进制小数都能用有限位二进制小数精确表示。一个十进制小数能被有限位二进制精确表示，当且仅当它可以表示成形如 $k/2^n$ 的分数。例如，$0.3=3/10$，而10不是2的幂（其质因数包含5），因此无法用有限位二进制精确表示。相反，任何有限位二进制小数都对应一个分母为2的幂的分数，因此总能精确地转换为十进制小数。这一特性在浮点数的表示与运算中尤为重要，需特别注意。

(1) 原码表示法#

用机器数的最高位表示数的符号，其余各位表示数的绝对值。原码的定义如下。

例如，若字长为8位，$x_1=+1110$，$x_2=-1110$，则其原码表示分别为 $[x_1]_{\text{原}}=0,0001110$，$[x_2]_{\text{原}}=2^7+1110=1,0001110$。

对于 $n+1$ 位原码整数，其表示范围为 $-(2^n-1) \le x \le 2^n-1$（关于原点对称）。

NOTE

零的原码表示有正零和负零两种形式，即 $[+0]_{\text{原}}=0,0000000$ 和 $[-0]_{\text{原}}=1,0000000$。

原码表示的优点： - 与真值的对应关系简单、直观，转换简便； - 用原码实现乘除运算比较简便。 缺点： - 零的表示不唯一，存在 $\pm 0$ 两种编码； - 用原码实现加减运算比较复杂。

(2) 补码表示法#

补码表示法的加法和减法运算均可通过加法器统一实现。正数的补码与原码相同，负数的补码等于反码的末位+1。补码的定义如下。

$[x]_{\text{补}} = \begin{cases} 0,x & 0 \le x < 2^n \\ 2^{n+1}+x=2^{n+1}-|x| & -2^n \le x < 0 \end{cases} \pmod{2^{n+1}}$

对于 $n+1$ 位补码整数，其表示范围为 $-2^n \le x \le 2^n-1$（比原码多表示一个负数，即 $-2^n$）。

• 几个特殊值的补码($n+1$位)：

1. $[+0]_{\text{补}}=[-0]_{\text{补}}=0,00\ldots0$（全0），零的补码表示是唯一的。
2. $[-1]_{\text{补}}=2^{n+1}-1=1,11\ldots1$ (全1)。
3. 最大正整数：$[2^n-1]_{\text{补}}=0,11\ldots1$（符号位为0，数值位全1）。
4. 最小负整数：$[-2^n]_{\text{补}}=1,00\ldots0$（符号位为1，数值位全0）。

• 模运算（了解）

在模运算中，一个数与它除以“模”后得到的余数是等价的。如 $A,B,M$ 满足 $A=B+K\times M$($K$为整数)，记为 $A\equiv B \pmod M$，即 $A$、$B$ 各除以 $M$ 后的余数相同。在补码运算中，$[A]_{\text{补}}-[B]_{\text{补}}=[A]_{\text{补}}+M-[B]_{\text{补}}$，而 $M-[B]_{\text{补}}=[-B]_{\text{补}}$，因此补码能够借助加法运算实现减法运算。

• 补码与真值之间的转换

真值转换为补码：对于正数，与原码的方式一样。对于负数，符号位取1，其余各位由其绝对值“按位取反，末位加1”得到。补码转换为真值：若符号位为0，则直接读作正数。若符号位为1，则真值为负数，其绝对值由补码数值部分“按位取反，末位加1”得到。

• 变形补码

为便于溢出检测，可采用双符号位的补码表示（又称变形补码），双符号位00表示正数，11表示负数。若总位数为 $n+2$ (高2位为符号位，其余为数值位)，则变形补码定义为

在双符号位中，左符表示真正的符号位，右符用于判断“溢出”。

(3) 反码表示法（了解即可）#

反码可视为从原码转换为补码的中间表示形式。

正数的反码与其原码相同。负数的反码由其原码的数值部分按位取反（末位不加1）得到。反码表示存在明显不足：

• 零的表示不唯一（存在 $\pm 0$ 两种编码）；
• 表示范围与相同字长的原码相同，比补码少一个最小负数 $(-2^n)$。

因此，反码在计算机中极少使用。

(4) 移码表示法#

移码主要用于表示浮点数的阶码，且用于表示整数。其核心思想是将真值 $x$ 加上一个固定偏置值，实现数轴整体右移。设字长为 $n+1$ 位，偏置值通常取 $2^n$，则移码定义为

NOTE

在IEEE754标准的浮点数中，$k$ 位阶码的偏置值为 $2^{k-1}-1$，如8位阶码的偏置值为127。

移码（设字长为 $n+1$，偏置值为 $2^n$）的主要特点如下：

• 零的表示唯一，$[+0]_{\text{移}}=2^n+0=[-0]_{\text{移}}=2^n-0=1\underbrace{0\ldots0}_{n\text{个}0}$。
• 在相同字长下，移码与补码仅符号位相反（将补码的最高位取反即得移码）。
• 移码全0时，对应真值的最小值 $-2^n$；移码全1时，对应真值的最大值 $2^n-1$。
• 移码保持真值的大小顺序：移码值越大，对应真值越大，便于阶码比较。

四种编码表示的总结如下：

• 正数的原码、反码、补码相同；移码则不同。
• 原码与反码在数轴上关于原点对称，二者都存在+0与-0。
• 补码与移码的表示不对称，零的表示唯一，且比原码和反码多表示一个负数 $(-2^n)$。
• 原码可直观的比较大小（因数值部分即绝对值），而负数的补码和反码不能像原码那样直观判断。不过，在同为负数的前提下，补码或反码的数值部分越大，其真值也越大。

(1) 长类型转换为短类型：位截断#

转换规则：保留低位，丢弃高位。需要注意的是，此类转换不会触发任何异常或错误报告，具有很强的隐蔽性。

(2) 相同字长的转换：仅改变解释方式#

转换规则：二进制位模式保持不变，仅重新解释其含义。所有二进制位均保持不变

相同字长的整型类型转换不改变位模式，仅改变对这些位的解释方式。

(3) 短类型转换为长类型：位扩展#

转换规则：若源数据为有符号数，则执行符号扩展；若源数据为无符号数，则执行零扩展。