普通函数#

• $x \sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x \sim e^x - 1 \sim \ln(1+x) \sim \ln(x+\sqrt{1+x^2})$
• $1 - \cos x \sim \dfrac{1}{2}x^2$
• $\sec x - 1 \sim \dfrac{1}{2}x^2$

2. 指数与对数函数#

• $a^x - 1 \sim x \ln a \quad (a>0)$
• $\log_a(1+x) \sim \dfrac{x}{\ln a} \quad (a>0,\,a\neq 1)$

3. 幂函数#

• $(1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x \quad (\alpha \neq 0)$
• $\sqrt{1+x} - 1 \sim \dfrac{x}{2}$
• $\sqrt[n]{1+x} - 1 \sim \dfrac{x}{n}$

4. 常见的差函数与高阶无穷小#

• $x - \sin x \sim \dfrac{1}{6}x^3$
• $\arcsin x - x \sim \dfrac{1}{6}x^3$
• $\tan x - x \sim \dfrac{1}{3}x^3$
• $x - \arctan x \sim \dfrac{1}{3}x^3$
• $\tan x - \sin x \sim \dfrac{1}{2}x^3$
• $\ln(1+x) - x \sim -\dfrac{1}{2}x^2$
• $e^x - 1 - x \sim \dfrac{1}{2}x^2$

以下是泰勒公式及八个常见函数的麦克劳林展开，以 Markdown 结合 LaTeX 格式整理，便于笔记和速查。

常见函数的麦克劳林展开#

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + o(x^{3})$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + o(x^{4})$

$\arcsin x = x + \frac{1}{6}x^3 + o(x^{3})$

$\tan x = x + \frac{1}{3}x^3 + o(x^{3})$

$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^{3})$

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^{3})$

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + o(x^{3})$

$(1+x)^a = 1 + a x + \frac{a(a-1)}{2!}x^2 + o(x^{2})$