基础知识结构#

1
mindmap
2
  root((积分的几何应用))
3
    平面图形的面积
4
    旋转体的体积
5
    函数的平均值
6
    其他几何应用
7
      形心坐标公式
8
      平面曲线的弧长
9
      旋转曲面的面积(侧面积)
10
      平行截面面积为已知的立体体积

1. 用定积分表达和计算平面图形的面积#

1. 曲线 $y=y_{1} \left ( x \right )$ 和 $y=y_{2} \left ( x \right )$ 及 $x=a$, $x=b \left ( a < b \right )$ 所围成的平面图形的面积

2. 曲线 $r=r_{1} \left ( \theta \right )$ 和 $r=r_{2} \left ( \theta \right )$ 与两射线 $\theta = \alpha$ 与 $\theta = \beta \left ( 0 < \beta - \alpha \le 2\pi \right )$ 所围城的曲边扇形的面积

3. 参数方程就是使用换元法套直角坐标系的面积公式

2. 用定积分表达和计算旋转体的体积#

1. 曲线 $y=y \left ( x \right )$ 与 $x=a$, $x=b \left ( a < b \right )$ 及 $x$ 所围成的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转体的体积为

2. 曲线 $y=y \left ( x \right )$ 与 $x=a$, $x=b \left ( 0 \le a < b \right )$ 及 $x$ 所围成的曲边梯形绕 $y$ 轴旋转一周所得到的旋转体的体积为

NOTE$$V_{x} = \pi \int_{a}^{b} \Box ^{2} dx$$$$V_{y} = 2 \pi \int_{a}^{b} x \left | \Box \right | dx$$

3. 平面曲线绕定直线旋转

平面曲线$L$:$y=f(x),a \le x \le v$ 且 $f(x)$可导 定直线$L_{0}$: $Ax + By + C = 0$, 且过$L_{0}$的任一条垂线与$L$最多有一个交点，则$L$绕$L_{0}$旋转一周的旋转体积是

3. 用定积分表达和计算函数的平均值#

设 $x\in [a,b]$ 函数 $y(x)$ 在 $[a,b]$ 上的平均值为 $\bar{y} =\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} y(x)dx \Rightarrow \bar{y} =y(\delta ),\delta \in [a,b]$ (由积分中值定理可得)

4. 其他几何应用#

1. “平面上的曲边梯形”的形心坐标公式

设平面区域 $D=\{ (x,y) | 0 \le y \le f(x),a \le x \le b\}, y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，所以形心为 $\bar{y}$,$\bar{x}$

2. 平面曲线弧长

• 直角坐标系方程 $y=y(x)(a\le x\le b)$ 给出，则 $s=\int_{a}^{b} \sqrt{1+[y'(x) ]^{2}} dx$
• 参数方程 $\begin{cases}x=x(t) \\y=y(t)\end{cases}(\alpha \le t\le \beta )$ 给出，则 $s=\int_{\alpha }^{\beta } \sqrt{[x'(t)]^{2} + [y'(t)]^{2}} dt$
• 极坐标系方程 $r=r(\theta )(\alpha \le \theta \le \beta )$ 给出，则$s=\int_{\alpha }^{\beta } \sqrt{[r(\theta )]^{2} + [r'(\theta )]^{2}} d\theta$

3. 旋转曲面的面积（侧面积）

• 曲线 $L: y=f(x)(a \le x \le b)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转曲面的面积

• 曲线 $L: \begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \end{cases} (\alpha \le t \le \beta, x'(t) \neq 0)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转曲面的面积

• 曲线 $L: r=r(\theta)(\alpha \le \theta \le \beta)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转曲面的面积

4. 平行截面面积为已知的立体体积

   在区间 $[a,b]$ 上，垂直于 $x$ 轴的平面截立体 $\Omega$ 所得到的截面面积为 $x$ 的连续函数 $A(x)$，取体积微元：$\mathrm{d}V = A(x)\mathrm{d}x$，则 $\Omega$ 的体积为