积分的几何应用

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5 分钟

积分的几何应用

2026-04-21

考研笔记

考研

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高等数学

基础知识结构#

1
mindmap
2
  root((积分的几何应用))
3
    平面图形的面积
4
    旋转体的体积
5
    函数的平均值
6
    其他几何应用
7
      形心坐标公式
8
      平面曲线的弧长
9
      旋转曲面的面积(侧面积)
10
      平行截面面积为已知的立体体积

1. 用定积分表达和计算平面图形的面积#

曲线 $y=y_{1} \left ( x \right )$ 和 $y=y_{2} \left ( x \right )$ 及 $x=a$ , $x=b \left ( a < b \right )$ 所围成的平面图形的面积

S=\int_{a}^{b} \left | y_{1} \left ( x \right ) - y_{2} \left ( x \right ) \right |dx

曲线 $r=r_{1} \left ( \theta \right )$ 和 $r=r_{2} \left ( \theta \right )$ 与两射线 $\theta = \alpha$ 与 $\theta = \beta \left ( 0 < \beta - \alpha \le 2\pi \right )$ 所围城的曲边扇形的面积

S=\frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \left | r_{1}^{2} \left ( \theta \right ) - r_{2}^{2} \left ( \theta \right ) \right |d\theta

参数方程就是使用换元法套直角坐标系的面积公式

S=\int_{a}^{b} f\left ( x \right ) dx \xlongequal{x=x\left ( t \right ) } \int_{x^{-1}\left ( a \right ) }^{x^{-1}\left ( b \right ) }f\left [ x\left ( t \right ) \right ]d\left [ x\left ( t \right ) \right ] = \int_{\alpha }^{\beta }y\left ( t \right ){x}' \left ( t \right ) dt

2. 用定积分表达和计算旋转体的体积#

曲线 $y=y \left ( x \right )$ 与 $x=a$ , $x=b \left ( a < b \right )$ 及 $x$ 所围成的曲边梯形绕 $x$ 轴旋转一周所得到的旋转体的体积为

V_{x} = \pi \int_{a}^{b} y^{2} \left ( x \right ) dx

曲线 $y=y \left ( x \right )$ 与 $x=a$ , $x=b \left ( 0 \le a < b \right )$ 及 $x$ 所围成的曲边梯形绕 $y$ 轴旋转一周所得到的旋转体的体积为

V_{y} = 2 \pi \int_{a}^{b} x \left | y \left ( x \right ) \right | dx

NOTE $V_{x} = \pi \int_{a}^{b} \Box ^{2} dx$ $V_{y} = 2 \pi \int_{a}^{b} x \left | \Box \right | dx$

平面曲线绕定直线旋转

平面曲线 $L$ : $y=f(x),a \le x \le v$ 且 $f(x)$ 可导定直线 $L_{0}$ : $Ax + By + C = 0$ , 且过 $L_{0}$ 的任一条垂线与 $L$ 最多有一个交点，则 $L$ 绕 $L_{0}$ 旋转一周的旋转体积是

V = \frac{\pi}{\left ( A^{2} + B^{2} \right ) ^{\frac{3}{2} } } \int_{a}^{b}\left [ Ax + Bf\left ( x \right ) + C \right ] ^{2} \left | Af{(x)}' - B \right | dx

3. 用定积分表达和计算函数的平均值#

设 $x\in [a,b]$ 函数 $y(x)$ 在 $[a,b]$ 上的平均值为 $\bar{y} =\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} y(x)dx \Rightarrow \bar{y} =y(\delta ),\delta \in [a,b]$ (由积分中值定理可得)

4. 其他几何应用#

“平面上的曲边梯形”的形心坐标公式

设平面区域 $D=\{ (x,y) | 0 \le y \le f(x),a \le x \le b\}, y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，所以形心为 $\bar{y}$ , $\bar{x}$

\bar{x} = \frac{\iint\limits_{D} xd\sigma }{\iint\limits_{D}d\sigma } =\frac{\int_{a}^{b} dx\int_{0}^{f(x)}xdy }{\int_{a}^{b} dx\int_{0}^{f(x)}dy} =\frac{\int_{a}^{b} xf(x)dx }{\int_{a}^{b} f(x)dx}

\bar{y} = \frac{\iint\limits_{D} yd\sigma }{\iint\limits_{D}d\sigma } =\frac{\int_{a}^{b} dx\int_{0}^{f(x)}ydy }{\int_{a}^{b} dx\int_{0}^{f(x)}dy} =\frac{\frac{1}{2} \int_{a}^{b} f^{2}(x)dx }{\int_{a}^{b} f(x)dx}

平面曲线弧长

直角坐标系方程 $y=y(x)(a\le x\le b)$ 给出，则 $s=\int_{a}^{b} \sqrt{1+[y'(x) ]^{2}} dx$
参数方程 $\begin{cases}x=x(t) \\y=y(t)\end{cases}(\alpha \le t\le \beta )$ 给出，则 $s=\int_{\alpha }^{\beta } \sqrt{[x'(t)]^{2} + [y'(t)]^{2}} dt$
极坐标系方程 $r=r(\theta )(\alpha \le \theta \le \beta )$ 给出，则 $s=\int_{\alpha }^{\beta } \sqrt{[r(\theta )]^{2} + [r'(\theta )]^{2}} d\theta$