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6 分钟
0.零基础入门
2026-05-05
考研笔记
考研
/
线性代数

本书共分为6讲，可以按以下三大版块进行学习：

  1. 行列式 (基础版块)
  2. 矩阵 (基础版块)
  3. 向量组 (主题版块)
  4. 方程组 (主题版块)
  5. 特征值 (应用版块)
  6. 二次型 (应用版块)

对象（元素）：向量#

  • 定义：拼在一起的有序数组，如 [−1,1][-1, 1]。
  • 维数：向量中数的个数，如 [−1,1][-1, 1] 是 22 维向量。
  • 意义：数据可以表达信息。

运算#

  • 线性运算：加法，数乘
  • 点积运算
    • 一行乘一列
    • 一行乘多列
    • 多行乘一列
    • 多行乘多列
  • 线性变换

线性运算#

  1. 加法：a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b}
  2. 数乘：ka⃗k\vec{a}

点积运算#

多行乘多列#

如 [a1a2b1b2][c1d1c2d2]=[a11a12a21a22],\begin{bmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 & d_1 \\ c_2 & d_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix},

其中，a11=a1c1+a2c2a_{11}=a_1c_1 + a_2c_2，a12=a1d1+a2d2a_{12}=a_1d_1 + a_2d_2，a21=b1c1+b2c2a_{21}=b_1c_1 + b_2c_2，a22=b1d1+b2d2a_{22}=b_1d_1 + b_2d_2，

aij=(第i行,第j列).a_{ij}=(\text{第}i\text{行}, \text{第}j\text{列}).

练习：计算如下式子。

  1. [10][01]=\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = 00
  2. [01][10]=\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = 00
  3. [1−1−24][1−2]=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \end{bmatrix} = [3−2]\begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}
  4. [12][0−110]=\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = [2−1]\begin{bmatrix} 2 & -1 \end{bmatrix}
  5. [100−1][1101]=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = [110−1]\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}
  6. [1101][02−1100]=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} = [12−1100]\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}

线性变换#

Aa⃗=β⃗A\vec{a} = \vec{\beta}

理解为：把 AA 作用在 a⃗\vec{a} 上，输出一个 β⃗\vec{\beta}。矩阵 ×\times 向量 = 向量。AA 对应法则就是 f()f( ) ，a⃗\vec{a} 自变量就是 xx ，β⃗\vec{\beta} 输出就是 yy 。

1.对称变换#

a. 关于 xx 轴对称

变换矩阵： [100−1]\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}

b. 关于 yy 轴对称

变换矩阵： [−1001]\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

c. 关于原点对称

变换矩阵： [−100−1]\begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}

d. 关于 y=xy=x 对称

变换矩阵： [0110]\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

e. 关于 y=−xy=-x 对称

变换矩阵： [0−1−10]\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}

2.伸缩变换#

a. 拉伸变换(横向放大2倍)

变换矩阵： [2001]\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

b. 拉伸变换(纵向放大2倍)

变换矩阵： [1002]\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}

c. 压缩变换(横向缩小2倍)

变换矩阵： [1/2001]\begin{bmatrix} 1/2 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

d. 压缩变换(纵向缩小2倍)

变换矩阵： [1001/2]\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix}

3.剪切变换#

a. 剪切变换(上边左移)

变换矩阵： [1101]\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

b. 剪切变换(右边下移)

变换矩阵： [10−11]\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}

4.旋转变换(逆时针绕原点45度)#

变换矩阵： [22−222222]\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2} }{2} & - \frac{\sqrt{2} }{2} \\ \frac{\sqrt{2} }{2} & \frac{\sqrt{2} }{2} \end{bmatrix}

方程组求解#

前提 AA 矩阵可逆

线性代数主要是运用了线性变换这样一个对应法则来作运算。事实上，线性变换相当于高等数学中的对应法则，即函数 ff，对应到线性代数里就是矩阵 AA。

例如，对于一个方程组

{x1+2x2=34x1+7x2=10\begin{cases} x_1 + 2x_2 = 3 \\ 4x_1 + 7x_2 = 10 \end{cases}

中学阶段的解法为高斯消元法，大学阶段的解法为线性变换法。 线性变换法中，把 x1+2x2x_1+2x_2、4x1+7x24x_1+7x_2 写为向量点积形式 1⋅x1+2⋅x21 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2、4⋅x1+7⋅x24 \cdot x_1 + 7 \cdot x_2，则方程改写为：

[1247][x1x2]=[310]\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 10 \end{bmatrix}Ax⃗=β⃗A\vec{x} = \vec{\beta}

等式两端同时左边乘“A−1A^{-1}”，得 A−1Ax⃗=A−1β⃗A^{-1}A\vec{x} = A^{-1}\vec{\beta}，即 x⃗=A−1β⃗\vec{x} = A^{-1}\vec{\beta}。

记 E1=1,E2=[1001]E_1 = 1, E_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

计算可知，[1247][−724−1]=[−724−1][1247]=[1001]\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -7 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}，即 AA−1=E2AA^{-1} = E_2。

此时 A−1=[−724−1]A^{-1} = \begin{bmatrix} -7 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} 。于是在下式两端同时乘以 A−1A^{-1}，有

[−724−1][1247][x1x2]=[−724−1][310]\begin{bmatrix} -7 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 10 \end{bmatrix}

于是 [x1x2]=[−12]\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}，即方程 {x1+2x2=34x1+7x2=10\begin{cases} x_1+2x_2=3 \\ 4x_1+7x_2=10 \end{cases} 的解为 x1=−1x_1=-1，x2=2x_2=2。

用 A−1A^{-1} 求解方程组可称为“逆矩阵解法”。

当方程组未知数和方程个数越来越多时，高斯消元法将越来越难以求解。而逆矩阵解法则越来越体现其优越性。在现代科技中，“大型”方程组的求解越来越普遍且实用。学习线性代数，可以为学好现代科技打下良好的基础。

0.零基础入门
https://www.atsuko.top/posts/mathematics-for-postgraduate-entrance-examination/linear-algebra/0-beginner-with-zero-foundation/
作者
AC_DB
发布于
2026-05-05
许可协议
CC BY-NC-SA 4.0
1.行列式
4.3程序的机器级代码表示

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