1.行列式 - AC

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1.行列式

2026-05-07

考研笔记

考研

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线性代数

行列式的三种定义#

第一种定义：本质定义#

二阶行列式 $\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}$ 表示由行向量（或列向量）形成的有向面积。

三阶行列式表示三个三维向量张成的有向体积。

一般地， $n$ 阶行列式是由 $n$ 个 $n$ 维向量构成的有向体积。

第二种定义：逆序数定义（通项定义）#

对于 $n$ 阶方阵 $(a_{ij})$ ，行列式定义为所有取自不同行不同列的 $n$ 个元素的乘积的代数和，每一项的正负由列标排列的逆序数决定。

$|A| = \sum_{(j_1j_2\cdots j_n)}(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}$

其中 $\tau(j_1j_2\cdots j_n)$ 表示排列 $j_1j_2\cdots j_n$ 的逆序数，求和取遍所有 $n$ 元排列。

第三种定义：展开定理定义（余子式递推定义）#

利用余子式和代数余子式递归地定义行列式：

$|A| = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} \quad (\text{按第 } i \text{ 行展开})$

也可按列展开： $|A| = \sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}$ 。

其中 $A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$ 称为元素 $a_{ij}$ 的代数余子式， $M_{ij}$ 为划去第 $i$ 行第 $j$ 列后剩下的 $n-1$ 阶行列式，称为余子式。

此即行列式的展开定理（第三种定义），也称为按行（列）展开的降阶定义。

行列式的7种核心性质#

序号	性质名称	准确描述	数学表达
1	转置不变（行列互换）	行列互换，值不变	$\\| A^{\mathrm{T}}\\| = \\|A\\|$
2	零行零列（某行全0）	若行列式中某一行（列）元素全为零，则行列式等于零。	若第 $i$ 行全为 $0$ ，则 $\det=0$
3	公因子提取	某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号外面。	$\begin{vmatrix}\cdots\\ ka_1&ka_2&\cdots&ka_n\\\cdots\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}\cdots\\ a_1&a_2&\cdots&a_n\\\cdots\end{vmatrix}$
4	可拆性（单行可加）	若某一行（列）的元素可以表为两数之和，则该行列式可拆为两个行列式之和。	$\begin{vmatrix}\cdots\\ a_1+b_1&\cdots&a_n+b_n\\\cdots\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\cdots\\ a_1&\cdots&a_n\\\cdots\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\cdots\\ b_1&\cdots&b_n\\\cdots\end{vmatrix}$
5	互换变号（两行互换）	互换行列式的两行（列），行列式变号。	$r_i \leftrightarrow r_j \Rightarrow \\|A\\| \to -\\|A\\|$
6	成比例为零	若两行（列）元素对应成比例，则行列式等于零。	若第 $i$ 行 $=k \cdot$ 第 $j$ 行，则 $\\|A\\|=0$
7	倍加不变（ $k$ 倍加）	将某一行（列）的 $k$ 倍加到另一行（列），行列式的值不变。	$r_j + k r_i$ 操作下行列式不变

推理记忆：由性质5、6可推得“两行相同则行列式为零”；由性质7可衍生出行列式初等变换的规则。七条性质通常可归纳为“转置、倍乘、互换、倍加、分拆、零行、比例”，是计算和证明题的第一武器。

重要行列式总结（“12+1”全公式）#

1. 主对角线方向（3种）#

均为“主对角线元素之积”，不同形式只是矩阵形状的区别。

(1) 主对角行列式

\begin{vmatrix} a_{11} & & & \\ & a_{22} & & \\ & & \ddots & \\ & & & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}

(2) 主对角线上三角行列式（主对角线以下全为 $0$ ）

\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ & & \ddots & \vdots \\ & & & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}

(3) 主对角线下三角行列式（主对角线以上全为 $0$ ）

\begin{vmatrix} a_{11} & & & \\ a_{21} & a_{22} & & \\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}

2. 副对角线方向（3种）#

核心是副对角线元素的乘积，并带符号 $(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}$ 。

(1) 副对角行列式（只有副对角线非零）

\begin{vmatrix} & & & a_{1n} \\ & & a_{2,n-1} & \\ & \iddots & & \\ a_{n1} & & & \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1}

(2) 副对角线上三角行列式（副对角线右上方全为 $0$ ）

\begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1,n-1} & a_{1n} \\ \vdots & \iddots & a_{2,n-1} & 0 \\ a_{n-1,1} & \iddots & & \vdots \\ a_{n1} & 0 & \cdots & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1}

(3) 副对角线下三角行列式（副对角线左下方全为 $0$ ）

\begin{vmatrix} 0 & \cdots & 0 & a_{1n} \\ 0 & \cdots & a_{2,n-1} & a_{2n} \\ \vdots & \iddots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{n,n-1} & a_{nn} \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1}

三种形式结果完全一致：副对角线元素之积乘以符号 $(-1)^{n(n-1)/2}$ 。

3. 拉普拉斯展开式分块（3种）#

设 $A$ 为 $m$ 阶方阵， $B$ 为 $n$ 阶方阵，分块矩阵的行列式结论如下。

(1) 准对角分块

\begin{vmatrix} A & O \\ O & B \end{vmatrix} = |A| \cdot |B|

(2) 准上三角分块

\begin{vmatrix} A & C \\ O & B \end{vmatrix} = |A| \cdot |B|

(3) 准下三角分块

\begin{vmatrix} A & O \\ C & B \end{vmatrix} = |A| \cdot |B|

另有一常见变形： $\begin{vmatrix} O & A \\ B & O \end{vmatrix} = (-1)^{mn}|A||B|$ ，可视为第二种定义的延伸。

4. 范德蒙德行列式（1种）#

V_n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \le j < i \le n} (x_i - x_j)

其中“下标大减小，连乘不遗漏”是记忆口诀；结果为所有可能的两数之差（后减前）的乘积。

1.行列式

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